अध्याय 11: त्रि-विमीय ज्यामिति

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 11, "त्रि-विमीय ज्यामिति", रेखाओं के दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात, रेखाओं और तलों के सदिश तथा कार्तीय समीकरण, दो रेखाओं के बीच का कोण, और विषमतलीय तथा समांतर रेखाओं के बीच लघुतम दूरी सदिश बीजगणित द्वारा सिखाता है।

• त्रि-विमीय अंतरिक्ष में दिशा निर्धारण — अध्याय एक रेखा की दिशा को दिक्-कोसाइनों द्वारा दर्शाता है — अक्षों के साथ बने कोणों के कोसाइन — और आनुपातिक दिक्-अनुपातों द्वारा, जो सम्बंध l² + m² + n² = 1 से आबद्ध हैं, जिससे त्रि-विमा में दिशा सुसंगत रहती है।
• त्रि-विमा में रेखाओं के समीकरण — सदिश बीजगणित की सहायता से रेखाएँ सदिश रूप (r = a + λb) और समतुल्य कार्तीय रूप दोनों में लिखी जाती हैं, जिससे त्रि-विमीय ज्यामिति सरल और सुंदर बन जाती है। इनसे दो रेखाओं के बीच का कोण सीधे उनके दिक्-सदिशों के बिंदु गुणनफल से प्राप्त होता है।
• विषमतलीय रेखाओं के बीच दूरी — अध्याय विषमतलीय रेखाओं की परिभाषा करता है — न समांतर, न प्रतिच्छेदी — और उनके बीच की दूरी का कठिन प्रश्न हल करता है: उभयनिष्ठ लंब के अनुदिश उनके दिक्-सदिशों के सरेख गुणनफल से लघुतम दूरी मापी जाती है।

1. 01किसी रेखा के दिक्-कोसाइन l, m, n संतुष्ट करते हैं l² + m² + n² = 1; दिक्-अनुपात a, b, c कोई भी संख्याएँ हैं जो l, m, n के समानुपाती हों
2. 02P(x₁,y₁,z₁) और Q(x₂,y₂,z₂) को जोड़ने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन (x₂−x₁)/PQ, (y₂−y₁)/PQ, (z₂−z₁)/PQ हैं, जहाँ PQ, P और Q के बीच की दूरी है
3. 03स्थिति सदिश a वाले बिंदु से गुजरने वाली और सदिश b के समांतर रेखा का सदिश समीकरण r = a + λb है; कार्तीय रूप (x−x₁)/a = (y−y₁)/b = (z−z₁)/c है
4. 04दिक्-अनुपात a₁,b₁,c₁ और a₂,b₂,c₂ वाली दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂ = 0, और समांतर हैं यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
5. 05विषमतलीय रेखाएँ वे रेखाएँ हैं जो न समांतर हों और न प्रतिच्छेद करें; उनके बीच की लघुतम दूरी दोनों के लंबवत रेखा के अनुदिश होती है
6. 06दो विषमतलीय रेखाओं r = a₁+λb₁ और r = a₂+μb₂ के बीच लघुतम दूरी |(b₁×b₂)·(a₂−a₁)| / |b₁×b₂| है