अध्याय 13: प्रायिकता

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 13, "प्रायिकता", सप्रतिबंध प्रायिकता, गुणन नियम, स्वतंत्र घटनाएँ, बेज़ प्रमेय और पूर्ण प्रायिकता प्रमेय को सम्मिलित करता है — A.N. कोल्मोगोरव (1903–1987) द्वारा प्रस्तुत स्वयंसिद्धात्मक दृष्टिकोण के आधार पर।

• दी गई सूचना के आधार पर प्रायिकता — अध्याय का आरंभिक बिंदु सप्रतिबंध प्रायिकता है — किसी घटना की संभावना तब कैसे बदलती है जब यह ज्ञात हो कि कोई अन्य घटना घटित हो चुकी है — जो प्रभावी रूप से प्रतिदर्श समष्टि को संकुचित करती है और स्वाभाविक रूप से संयुक्त घटनाओं के गुणन नियम की ओर ले जाती है।
• घटनाओं की स्वतंत्रता — अध्याय घटनाओं को स्वतंत्र परिभाषित करता है जब एक के घटित होने से दूसरे के बारे में कोई जानकारी नहीं मिलती, और एक सूक्ष्म निष्कर्ष निकालता है: अशून्य प्रायिकता वाली स्वतंत्र घटनाएँ कभी परस्पर अपवर्जी नहीं हो सकतीं — इससे विद्यार्थियों की घटनाओं के अंतःक्रिया की समझ और गहरी होती है।
• पूर्ण प्रायिकता और बेज़ प्रमेय — प्रतिदर्श समष्टि को विभाजित करके पूर्ण प्रायिकता प्रमेय किसी घटना की प्रायिकता उसके भागों से संयोजित करता है, और बेज़ प्रमेय तर्क को उलटकर पूर्व-प्रायिकता (prior) को उत्तर-प्रायिकता (posterior) में अद्यतन करता है — कलश समस्याओं, चिकित्सा परीक्षण और दोष-पहचान में अनुप्रयुक्त।

1. 01सप्रतिबंध प्रायिकता P(E|F) = P(E∩F)/P(F) परिभाषित है जब P(F) ≠ 0; यह प्रभावी प्रतिदर्श समष्टि को F के अनुकूल परिणामों तक सीमित कर देती है।
2. 02गुणन नियम P(E∩F) = P(E)·P(F|E) = P(F)·P(E|F) कहता है; यह तीन या अधिक घटनाओं तक विस्तृत होता है।
3. 03दो घटनाएँ E और F स्वतंत्र हैं यदि P(E∩F) = P(E)·P(F); अशून्य प्रायिकता वाली स्वतंत्र घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हो सकतीं।
4. 04पूर्ण प्रायिकता प्रमेय कहता है कि प्रतिदर्श समष्टि S के विभाजन {E1, E2, …, En} के लिए P(A) = Σ P(Ej)·P(A|Ej)।
5. 05बेज़ प्रमेय P(Ei|A) = P(Ei)·P(A|Ei) / Σ P(Ej)·P(A|Ej) देता है, जो पूर्व-प्रायिकता और संभावना से व्युत्क्रम (उत्तर) प्रायिकताओं का परिकलन करता है।
6. 06प्रमुख ऐतिहासिक योगदान: पास्कल और फर्मा (1654 पत्र-व्यवहार — प्रायिकता सिद्धांत की नींव), जैकब बर्नूली (द्विपद बंटन), और A.N. कोल्मोगोरव (स्वयंसिद्धात्मक सिद्धांत, 1933)।