अध्याय 5: सांतत्य तथा अवकलनीयता

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 5, "सांतत्य तथा अवकलनीयता", सांतत्य एवं अवकलनीयता की औपचारिक परिभाषाएँ, श्रृंखला नियम, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, चरघातांकी एवं लघुगणकीय फलनों के अवकलज, लघुगणकीय अवकलन, प्राचलिक अवकलन तथा द्वितीय कोटि के अवकलज का विस्तृत अध्ययन प्रस्तुत करता है।

• सांतत्य बनाम अवकलनीयता — अध्याय स्पष्ट करता है कि फलन में कोई विराम न होने (सांतत्य) और सुपरिभाषित स्पर्शी होने (अवकलनीयता) का क्या अर्थ है, फिर दर्शाता है कि दोनों संबंधित तो हैं लेकिन एक-दूसरे के समतुल्य नहीं — प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत है, किंतु |x|, x = 0 पर सतत होने के बावजूद अवकलनीय नहीं है।
• कठिन फलनों का अवकलन — कक्षा 11 के नियमों पर निर्मित करते हुए अध्याय श्रृंखला नियम से संयुक्त फलनों का अवकलन और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, चरघातांकी तथा लघुगणकीय फलनों के अवकलज का विस्तार करता है, जिससे बहुत विस्तृत श्रेणी के व्यंजनों का अवकलन संभव होता है।
• विशेष अवकलन-तकनीकें — जटिल रूपों के लिए अध्याय समर्पित विधियाँ प्रस्तुत करता है — [u(x)]^v(x) जैसे घात-स्तूप व्यंजनों के लिए लघुगणकीय अवकलन; जब x और y किसी प्राचल पर निर्भर हों तो प्राचलिक अवकलन; और द्वितीय कोटि के अवकलज जो मापते हैं कि परिवर्तन की दर स्वयं कितनी तेज़ी से बदल रही है।

1. 01फलन f, c पर सतत है यदि lim(x→c) f(x) = f(c); महत्तम पूर्णांक फलन [x] प्रत्येक पूर्णांक पर असतत है।
2. 02प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है, किंतु इसका विलोम असत्य है — f(x) = |x|, x = 0 पर सतत है परंतु वहाँ अवकलनीय नहीं।
3. 03श्रृंखला नियम: संयुक्त f = v∘u के लिए, जहाँ t = u(x), df/dx = (dv/dt)·(dt/dx); यह sin(x²) जैसे फलनों का अवकलन सक्षम बनाता है।
4. 04प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज: d/dx(sin⁻¹x) = 1/√(1−x²), d/dx(cos⁻¹x) = −1/√(1−x²), d/dx(tan⁻¹x) = 1/(1+x²)।
5. 05प्राकृतिक चरघातांकी फलन संतुष्ट करता है d/dx(eˣ) = eˣ, और d/dx(log x) = 1/x; [u(x)]^v(x) रूपों के लिए लघुगणकीय अवकलन प्रयोग करते हैं।
6. 06प्राचलिक समीकरणों x = f(t), y = g(t) के लिए dy/dx = g′(t)/f′(t) जब f′(t) ≠ 0; द्वितीय कोटि का अवकलज d²y/dx², dy/dx का अवकलज है।