अध्याय 2: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 2, "प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन", त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत एवं परिसर पर आवश्यक प्रतिबंधों का अध्ययन करता है ताकि उनके प्रतिलोम सुपरिभाषित हों, साथ ही मुख्य मान शाखाएँ एवं कलन तथा इंजीनियरिंग में प्रयुक्त प्रमुख गुणधर्मों का विवेचन करता है।

• प्रतिलोम के लिए प्रतिबंधित प्रांत की आवश्यकता — त्रिकोणमितीय फलन अपने मानों को दोहराते हैं इसलिए उन्हें यथावत् उलटा नहीं किया जा सकता। अध्याय का मूल विचार यह है कि प्रत्येक फलन के प्रांत को एक एकैकी खंड तक सीमित किया जाए — मुख्य मान शाखा — ताकि वास्तविक प्रतिलोम अस्तित्व में आ सके।
• आलेखों से प्रतिलोम फलन को समझना — प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय आलेख मूल आलेख का y = x रेखा के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब होता है, जिससे निवेश और निर्गत का आदान-प्रदान दृश्यरूप में स्पष्ट होता है। यह ज्यामितीय दृष्टिकोण बताता है कि प्रतिलोम का परिसर ठीक वही प्रतिबंधित प्रांत होता है जो मूल फलन के लिए चुना गया था।
• प्रतिस्थापन से सरलीकरण — प्रतिलोम त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सीधे संचालित करने के बजाय, अध्याय x = sinθ, cosθ या tanθ रखकर जटिल रूपों को परिचित द्विकोण या योग-सूत्रों में बदलने की विधि सिखाता है, जिससे कठिन सरलीकरण साधारण त्रिकोणमिति में बदल जाता है।

1. 01प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन तभी परिभाषित होते हैं जब मूल फलन के प्रांत को एकैकी एवं आच्छादक बनाने के लिए प्रतिबंधित किया जाए; चयनित प्रतिबंधित अंतराल मुख्य मान शाखा कहलाता है।
2. 02मुख्य मान शाखाओं के प्रांत और परिसर: sin⁻¹: [−1,1] → [−π/2, π/2]; cos⁻¹: [−1,1] → [0,π]; tan⁻¹: ℝ → (−π/2, π/2); cot⁻¹: ℝ → (0,π); sec⁻¹: ℝ−(−1,1) → [0,π]−{π/2}; cosec⁻¹: ℝ−(−1,1) → [−π/2, π/2]−{0}।
3. 03sin⁻¹x को (sin x)⁻¹ = 1/sin x से भ्रमित नहीं करना चाहिए; प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन में ऊपरी सूचक −1 प्रतिलोम फलन को दर्शाता है, व्युत्क्रम को नहीं।
4. 04y = sin⁻¹x (या किसी भी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन) का आलेख मूल आलेख का y = x रेखा के सापेक्ष परावर्तन है; मुख्य मान शाखा को मानक निर्गत के रूप में उजागर किया जाता है।
5. 05मुख्य मान प्रांतों में प्रमुख तत्समकताएँ: x ∈ [−1,1] के लिए sin(sin⁻¹x) = x और x ∈ [−π/2, π/2] के लिए sin⁻¹(sinx) = x; सभी छह फलनों के लिए इसी प्रकार के परिणाम।
6. 06प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों वाले जटिल व्यंजकों को x = sinθ, x = cosθ या x = tanθ रखकर सरल द्विकोण या योग-सूत्रों में बदला जा सकता है।