अध्याय 4: सारणिक

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 4, "सारणिक", प्रत्येक वर्ग आव्यूह से संबद्ध उस संख्या का अध्ययन करता है जो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल की संभावना तय करती है, साथ ही त्रिभुज के क्षेत्रफल ज्ञात करने और आव्यूह विधि द्वारा समीकरण-निकाय हल करने के अनुप्रयोग भी प्रस्तुत करता है।

• सारणिक — एकल परीक्षण संख्या — प्रत्येक वर्ग आव्यूह एक संख्या में सिमट जाता है — उसका सारणिक — जिसकी गणना किसी सुविधाजनक पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसरण द्वारा की जाती है। यह एकल मान बताता है कि आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है या व्युत्क्रमणीय, और यही निर्णय आगे के सभी अनुप्रयोगों को नियंत्रित करता है।
• सहखंडों से प्रतिलोम तक — अध्याय आव्यूह से उपसारणिक और सहखंड निकालता है, उन्हें सह-गुणक (adjoint) में संयोजित करता है, और उससे प्रतिलोम का निर्माण करता है — यह दर्शाते हुए कि आव्यूह का प्रतिलोम तभी संभव है जब उसका सारणिक शून्येतर हो।
• ज्यामिति और रैखिक निकायों का हल — सारणिक एक व्यावहारिक साधन बन जाता है: शीर्षों से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में (तथा संरेख बिंदुओं की पहचान करने में) और आव्यूह विधि द्वारा यह निर्णय करने में कि रैखिक समीकरण-निकाय का अद्वितीय हल है, कोई हल नहीं है, या अनंत हल हैं।

1. 012×2 आव्यूह A = [[a11,a12],[a21,a22]] का सारणिक a11·a22 − a21·a12 है; सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों का होता है।
2. 023×3 सारणिक का प्रसरण किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश किया जा सकता है — सभी छह प्रसरण एकही मान देते हैं; अधिकतम शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ से प्रसरण गणना सरल बनाता है।
3. 03अवयव aij का उपसारणिक Mij, i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ को हटाकर प्राप्त सारणिक है; सहखंड Aij = (−1)^(i+j) · Mij है।
4. 04आव्यूह A का सहगुणक (adjoint), सहखंड आव्यूह का परिवर्त है; A⁻¹ = (1/|A|) · adj A, जो तभी संभव है जब |A| ≠ 0 (अव्यापाती आव्यूह)।
5. 05शीर्षों (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2)|det([x1,y1,1; x2,y2,1; x3,y3,1])|; तीन बिंदु संरेख हों तो यह सारणिक शून्य होता है।
6. 06निकाय AX = B के लिए: |A| ≠ 0 होने पर अद्वितीय हल X = A⁻¹B मिलता है; |A| = 0 और (adj A)B ≠ O हो तो निकाय असंगत है; |A| = 0 और (adj A)B = O हो तो निकाय संगत या असंगत हो सकता है।