सारांश
कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 9, "अवकल समीकरण", प्रथम कोटि की अवकल समीकरणों को बनाने और हल करने की तीन विधियाँ सिखाता है: चर पृथक्करणीय, समघात और रैखिक अवकल समीकरण।
- अवकल गुणांकों वाली समीकरणें — एक अवकल समीकरण किसी फलन को उसके परिवर्तन की दरों से जोड़ती है। अध्याय ऐसी समीकरणों को कोटि (सर्वोच्च अवकल) और घात (उसकी सर्वोच्च घात) के आधार पर वर्गीकृत करता है, जिससे विद्यार्थी यह पहचान सकें कि उन्हें किस प्रकार की समीकरण हल करनी है।
- व्यापक और विशिष्ट हल — अवकल समीकरण हल करने पर स्वेच्छ अचरों वाले वक्रों का एक पूरा परिवार मिलता है — यह व्यापक हल है। दी गई प्रारंभिक शर्तों से उन अचरों के मान निर्धारित करने पर एक विशिष्ट हल प्राप्त होता है, ठीक वैसे ही जैसे समाकलन में अचर C को किसी शर्त से ज्ञात किया जाता है।
- तीन हल-विधियाँ — अध्याय प्रत्येक प्रकार की समीकरण के लिए उचित विधि बताता है: जब चर आसानी से अलग हों तो चर पृथक्करण, समघात समीकरणों के लिए y = vx प्रतिस्थापन, और रैखिक समीकरणों के लिए समाकल गुणक विधि — इनके अनुप्रयोगों में जनसंख्या वृद्धि, चक्रवृद्धि ब्याज और वक्र-ज्यामिति सम्मिलित हैं।
मुख्य बिंदु और सूत्र
- 01अवकल समीकरण की कोटि उसमें उपस्थित आश्रित चर के सर्वोच्च अवकल की कोटि होती है; कोटि और घात सदैव धनात्मक पूर्णांक होते हैं जब परिभाषित हों।
- 02घात सर्वोच्च कोटि के अवकल की सर्वोच्च घात है, किंतु केवल तब जब समीकरण अपने अवकलों में बहुपद हो; y′′′ + y² + e^(y′) = 0 जैसी समीकरणों की घात अपरिभाषित होती है।
- 03व्यापक हल में समीकरण की कोटि के बराबर स्वेच्छ अचर होते हैं; उन अचरों को विशिष्ट मान देने पर विशिष्ट हल प्राप्त होता है।
- 04चर पृथक्करण विधि में dy/dx = h(y)·g(x) को (1/h(y))dy = g(x)dx के रूप में लिखकर दोनों पक्षों का स्वतंत्र रूप से समाकलन किया जाता है।
- 05समघात अवकल समीकरण में F(x,y) शून्य घात का समघात फलन होता है; इसे y = vx (या x = vy) प्रतिस्थापित करके चर पृथक्करणीय रूप में बदला जाता है।
- 06प्रथम कोटि की रैखिक अवकल समीकरण dy/dx + Py = Q को समाकल गुणक e^(∫P dx) से गुणा करके दोनों पक्षों का समाकलन करने से हल प्राप्त होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
01अवकल समीकरण की कोटि और घात में क्या अंतर है?
कोटि, समीकरण में उपस्थित सर्वोच्च अवकल की कोटि है। घात उस सर्वोच्च अवकल की उच्चतम घात है, किंतु केवल तब जब समीकरण अपने अवकलों में बहुपद हो — यदि समीकरण में sin(y′) या e^(y′) जैसे पद हों, तो घात अपरिभाषित होती है।
02समघात अवकल समीकरण कैसे हल की जाती है?
पहले यह सत्यापित करें कि dy/dx = F(x,y) में F(x,y) शून्य घात का समघात फलन है, अर्थात् F(λx, λy) = λ⁰ F(x,y)। फिर y = vx प्रतिस्थापित करें ताकि dy/dx = v + x(dv/dx) हो जाए, जिससे समीकरण v और x में चर पृथक्करणीय रूप में बदल जाती है और सीधे समाकलन किया जा सकता है।
03समाकल गुणक क्या है और इसका उपयोग कब किया जाता है?
समाकल गुणक (I.F.) = e^(∫P dx) है, जिसका उपयोग dy/dx + Py = Q रूप की प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने में होता है, जहाँ P और Q केवल x के फलन हैं। दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने पर बायाँ पक्ष एक सटीक अवकल बन जाता है, जिसके बाद सीधे समाकलन करके व्यापक हल प्राप्त होता है।
04क्या एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 9 की PDF निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है?
हाँ, एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 9 (अवकल समीकरण) की PDF ncerthindi.com पर निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है।
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