गणित (गणित मेला)

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 1, "हम हैं यात्री – 1", यात्रा के संदर्भ में बड़ी संख्याओं को पढ़ना-लिखना, स्थानीय मान सारणी में दस हज़ार (द.ह.) का स्थान, संख्याओं की तुलना एवं क्रम, तथा निकटतम दहाई-सैकड़े-हज़ार में पूर्णन सिखाता है।

• 1स्थानीय मान सारणी में पाँचवाँ स्थान 'दस हज़ार' (द.ह.) है; 10 हज़ार = 10,000।
• 25 अंकों तक की संख्याएँ (जैसे 45,867 और 81,200) भारतीय पद्धति में अल्पविराम लगाकर लिखी जाती हैं।
• 3पूर्णन: संख्या-रेखा पर देखें कि संख्या किस निकटतम दहाई, सैकड़े या हज़ार के अधिक पास है।
• 4संख्या का मान उसके अंकों के स्थान पर निर्भर करता है — 9,990, 49,014 से छोटा है, भले ही पहला अंक 9 हो।
• 5वाहनों की गति: पैदल 3–5 किमी/घंटा, साइकिल 12–20 किमी/घंटा, ट्रेन 40–160 किमी/घंटा, वायुयान 750–920 किमी/घंटा, अंतरिक्षयान कम से कम 28,000 किमी/घंटा।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 2, "भिन्न", तुल्य भिन्न, समान हर या समान अंश वाली भिन्नों की तुलना, और 1 से बड़ी भिन्नों की अवधारणा को जाल, भिन्न-किट और संख्या-रेखा जैसी हाथ से करने वाली गतिविधियों के माध्यम से सिखाता है।

• 1दो भिन्नों की तुलना तभी सही होती है जब दोनों 'पूरे' का आकार समान हो — बड़ी चॉकलेट का 1/2 छोटी चॉकलेट के 1/3 से बड़ा हो सकता है।
• 2तुल्य भिन्न: 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 — एक ही भाग के अलग-अलग नाम।
• 3समान हर: अधिक अंश वाली भिन्न बड़ी — 2/3 > 1/3।
• 4समान अंश: छोटे हर वाली भिन्न बड़ी, क्योंकि प्रत्येक टुकड़ा बड़ा होता है — 4/5 > 4/6।
• 5जब अंश हर से बड़ा हो तो भिन्न 1 से बड़ी होती है; 5/2 = 2½ को संख्या-रेखा पर दिखाया जाता है।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 3, "घुमाव के रूप में कोण", सिखाता है कि कोण घुमाव से बनते हैं — चौथाई, आधा और पूरा घुमाव क्रमशः समकोण, सरल कोण और पूर्ण घुमाव से जुड़े होते हैं, जिन्हें कागज़ के पंखे, स्ट्रॉ-औज़ार और घड़ी की सुई जैसी गतिविधियों से समझाया जाता है।

• 1चौथाई घुमाव (पूरे घुमाव का 1/4) समकोण बनाता है — यह सभी कोण-प्रकारों की आधार इकाई है।
• 2चौथाई से कम = न्यून कोण; चौथाई और आधे के बीच = अधिक कोण; दो चौथाई (आधा घुमाव) = सरल कोण।
• 3एक ही दिशा में दो आधे घुमाव मिलकर एक पूरा घुमाव बनाते हैं; चार चौथाई घुमाव भी एक पूरे घुमाव के बराबर हैं।
• 4दक्षिणावर्त — घड़ी की सुइयों की दिशा; विपरीत दिशा को वामावर्त कहते हैं।
• 5घड़ी की मिनट-सुई: 15 मिनट = चौथाई घुमाव, 30 मिनट = आधा घुमाव, 60 मिनट = एक पूरा चक्कर।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 4, "हम हैं यात्री – 2", स्थानीय मान का उपयोग करते हुए 5 अंकों तक की संख्याओं का जोड़-घटाव, क्रमागत संख्याओं के योगफल के नियम, विषम-सम संख्याओं की पहचान, पैलिंड्रोम संख्याएँ, और यात्रा व ईंधन से जुड़ी वास्तविक जीवन की शब्द-समस्याएँ सिखाता है।

• 15 अंकों (द.ह., ह., सै., द., इ.) तक की संख्याओं का जोड़-घटाव स्तंभ-विधि और पुनर्समूहन से सिखाया जाता है।
• 2भारत का उत्तर-दक्षिण कॉरिडोर (श्रीनगर से कन्याकुमारी, 2019 में 3,717 किमी) और समुद्री मार्ग (मुंबई से चेन्नई, 2,700 किमी) वास्तविक यात्रा-संदर्भ देते हैं।
• 3क्रमागत संख्याएँ वे होती हैं जो एक के बाद एक आती हैं बिना कोई छोड़े; 2 क्रमागत संख्याओं का योग विषम और 3 का योग 3 का गुणज होता है।
• 4पैलिंड्रोम संख्याएँ आगे और पीछे से एक जैसी होती हैं — जैसे 22, 363, 404, 8,558।
• 5त्वरित युक्ति: 32 + 67 = 99 से 32 + 68 = 100 — पूरक को 1 बढ़ाकर।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 5, "दूर और पास", लंबाई और दूरी मापने की विभिन्न मानक इकाइयों — मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर और किलोमीटर — तथा उनके परस्पर संबंधों से परिचित कराता है और मिश्रित इकाइयों में जोड़, घटाव, गुणा एवं भाग के अभ्यास द्वारा वास्तविक जीवन की दूरी-संबंधी समस्याओं को हल करना सिखाता है।

• 1चार मानक इकाइयाँ: मि.मी., से.मी., मी. और कि.मी.; संबंध — 10 मि.मी. = 1 से.मी., 100 से.मी. = 1 मी., 1,000 मी. = 1 कि.मी.।
• 2'किलो' का अर्थ है हजार, इसलिए 1 किलोमीटर = 1,000 मीटर — यह नगरों के बीच की दूरी और लंबी दौड़ के मार्ग मापने का उपयुक्त पैमाना है।
• 3रूलर पर 1 सेंटीमीटर में 10 मिलीमीटर के निशान होते हैं; अंकुर या छोटे पेंच जैसी छोटी वस्तुएँ मापते समय मि.मी. से अधिक सटीकता मिलती है।
• 4विवेक एक्सप्रेस — डिब्रूगढ़ से कन्याकुमारी तक — भारत की सबसे लंबी ट्रेन यात्रा का उदाहरण है जिसकी कुल दूरी 4,187 कि.मी. है।
• 5विश्व की ऊँची प्रतिमाओं की ऊँचाइयाँ — जैसे स्टैच्यू ऑफ यूनिटी (182 मी.) और स्टैच्यू ऑफ लिबर्टी (38 मी.) — की तुलना और अंतर निकालने के लिए मीटर में प्रयोग किए जाते हैं।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 6, "दुग्धशाला (डेयरी फार्म)", गुणन की विभिन्न विधियों पर केंद्रित है — क्रमविनिमेयता, दोगुना-आधा करने की युक्ति, निकटतम गुणज अनुमान और स्थानीय मान पर आधारित दीर्घ गुणन को डेयरी फार्म के वास्तविक संदर्भों से जोड़कर समझाता है।

• 1किसी संख्या को 10 से गुणा करने पर प्रत्येक अंक एक स्थान बाईं ओर खिसकता है; 100 से गुणा पर दो स्थान और 1,000 से गुणा पर तीन स्थान।
• 2गुणनखंडों का क्रम बदलने पर गुणनफल नहीं बदलता — मक्खन के पैकेटों की व्यवस्था से यह प्रतिरूप हर उदाहरण में समान रहता है।
• 3दोगुना-आधा युक्ति 5 और 25 जैसे गुणकों के साथ विशेष रूप से उपयोगी है, क्योंकि उन्हें आधा करने पर एक सुविधाजनक पूर्ण संख्या (10 या 50) मिलती है।
• 4निकटतम गुणज युक्ति में एक गुणनखंड को ऊपर या नीचे पूर्णांकित किया जाता है, गुणा होती है, फिर पूर्णांकित किए गए अंतर को जोड़कर या घटाकर सुधार किया जाता है।
• 5डेयरी के संदर्भ में: 268 किसानों में प्रत्येक के पास कम से कम 4 गायें हैं, तो न्यूनतम 1,072 गायें; 453 गिर गायें प्रतिदिन 13 लीटर दूध देती हैं, कुल 5,889 लीटर प्रतिदिन।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 7, "आकार और प्रतिरूप", बुनाई के प्रतिरूप, टेसेलेशन और द्विविमीय तथा त्रिविमीय ज्यामिति को हाथों से करने वाली गतिविधियों के माध्यम से सिखाता है — जिसमें त्रिभुज, चतुर्भुज और आयतन आकृतियों जैसे आइकोसाहेड्रॉन का वर्गीकरण मोड़ने और बनाने की क्रियाओं से होता है।

• 1कागज की चटाई बुनने में एकांतर ऊपर-नीचे पट्टी के नियम का उपयोग होता है; पंक्ति 1 और पंक्ति 2 विपरीत क्रम (1 नीचे 1 ऊपर और 1 ऊपर 1 नीचे) में होती हैं।
• 2सम पंचभुज और सम अष्टभुज टेसेलेट नहीं होते — किसी बिंदु पर रखने पर अंतराल बचता है। समबाहु त्रिभुज, वर्ग और सम षट्भुज टेसेलेट होते हैं।
• 3समद्विबाहु त्रिभुज में 2 समान भुजाएँ और 2 समान कोण होते हैं; समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ और तीनों कोण समान होते हैं; विषमबाहु त्रिभुज की कोई दो भुजाएँ समान नहीं होतीं।
• 4पतंग में आसन्न भुजाओं के दो युगल समान होते हैं (भुजा 1 = भुजा 2 और भुजा 3 = भुजा 4)। समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ और सम्मुख कोण समान होते हैं; आयत एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हों।
• 5वृत्त के दो व्यासों के अंतिम बिंदुओं को मिलाने पर आयत (या वर्ग) बनता है, क्योंकि चारों बिंदु वृत्त पर स्थित होते हैं और विकर्ण समान और परस्पर समद्विभाजक होते हैं।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 8, "भार और धारिता", तौल मापने के पैमाने पढ़ना, मिलीग्राम, ग्राम, किलोग्राम, क्विंटल और टन के बीच रूपांतरण तथा मिलीलीटर और लीटर में धारिता मापना सिखाता है — और मिश्रित इकाइयों में जोड़, घटाव, गुणा और भाग के वास्तविक जीवन के अभ्यास कराता है।

• 11 कि.ग्रा. = 1,000 ग्रा.; 100 कि.ग्रा. = 1 क्विंटल; 10 क्विंटल = 1 टन (1,000 कि.ग्रा. = 1 टन)।
• 21 ग्रा. = 1,000 मि.ग्रा. — मिलीग्राम से चींटियाँ (1–5 मि.ग्रा.) और सोने के गहने जैसी हल्की वस्तुएँ मापी जाती हैं।
• 3मिश्रित इकाइयों में भार (जैसे 3 कि.ग्रा. 500 ग्रा.) को गणना के लिए पूरी तरह ग्रा. (3,500 ग्रा.) में बदला जा सकता है।
• 4मिश्रित भार का जोड़-घटाव कि.ग्रा. और ग्रा. अलग-अलग पुनर्समूहित करके अथवा ग्राम में बदलकर किया जा सकता है — दोनों से एक ही उत्तर मिलता है।
• 5भार गुणा: कि.ग्रा. और ग्रा. के भाग अलग-अलग गुणा करके जोड़ें (जैसे 4×10 कि.ग्रा. 500 ग्रा. = 40 कि.ग्रा. + 2,000 ग्रा. = 42 कि.ग्रा.)।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 9, "नारियल का खेत", भाजन को गुणन के व्युत्क्रम के रूप में समझाता है — भाजन के तथ्य, मानसिक विभाजन की विधियाँ, स्थानीय मान से विभाजन और भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल का सूत्र सुसी और सुनीता के नारियल के खेत की कहानी के माध्यम से सिखाए गए हैं।

• 1प्रत्येक गुणन तथ्य जैसे 5 × 7 = 35 से दो भाजन तथ्य बनते हैं: 35 ÷ 5 = 7 और 35 ÷ 7 = 5।
• 2मूल सूत्र: भाज्य (N) = भाजक (D) × भागफल (Q); शेषफल होने पर N = D × Q + R।
• 3मानसिक विभाजन: भाज्य को सुविधाजनक भागों में बाँटें, फिर आंशिक परिणामों को जोड़ें।
• 44 से भाजन का सरल मार्ग: संख्या को दो बार आधा करें — जैसे 128 ÷ 4: 128 का आधा = 64, 64 का आधा = 32।
• 510 से भाजन करने पर अंक स्थानीय मान तालिका में एक स्थान दाईं ओर खिसकते हैं।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 10, "सममित अभिकल्पनाएँ", परावर्तन सममिति और घूर्णन सममिति को अक्षर-कटआउट, दिरकी (पवन-चक्की) बनाने और राजस्थान की ब्लॉक-मुद्रण कला के माध्यम से सिखाता है — सममिति की अवधारणाओं को ठोस रूप देने वाली गतिविधियाँ पीडीएफ में उपलब्ध हैं।

• 1ऊर्ध्वाधर सममिति रेखा वाले अक्षर (जैसे A) को आधे मुड़े कागज से काटा जाता है; दो सममिति रेखाओं वाले (जैसे H) को एक-चौथाई मुड़े कागज से।
• 2दिरकी (पवन-चक्की) वर्गाकार कागज से बनती है और 1/4, 1/2 तथा 3/4 घुमाव पर एकसमान दिखती है — यह घूर्णन सममिति का उदाहरण है।
• 3अक्षर 'H' में घूर्णन सममिति है क्योंकि इसे आधा (1/2) घुमाने पर यह पहले जैसा दिखता है।
• 4अंकों 0–9 में परावर्तन सममिति, घूर्णन सममिति या दोनों की जाँच की जाती है।
• 5अभिकल्पनाओं को आकृतियाँ जोड़कर चौथाई या आधे घुमाव की घूर्णन सममिति दी जा सकती है; ऐसी अभिकल्पनाओं में परावर्तन सममिति भी हो सकती है।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 11, "दादी माँ की रजाई", परिमिति और क्षेत्रफल का परिचय एक रजाई को फीते से सजाने की कहानी के माध्यम से देता है — किनारे की माप, टाइल बिछाकर सतह ढकना और क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई का सूत्र व्यावहारिक गतिविधियों से सिखाया गया है।

• 1परिमिति किसी आकृति के किनारे की लंबाई है; अध्याय में रजाई के किनारे का फीता इसका वास्तविक जीवन उदाहरण है।
• 2वर्ग, आयत और त्रिभुज बिना रिक्त स्थान के सतह ढकते हैं; वृत्त नहीं ढक पाता।
• 31 इकाई भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई होता है — यह क्षेत्रफल मापने की मानक इकाई है।
• 4आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई (जैसे 6 से.मी. × 4 से.मी. = 24 वर्ग से.मी.); यह क्षेत्रफल को गुणन से जोड़ता है।
• 5वर्ग का क्षेत्रफल = लंबाई × लंबाई; वर्ग की परिमिति = 4 × लंबाई।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 12, "दौड़ते सेकंड", सेकंड को समय की इकाई के रूप में प्रस्तुत करता है — घड़ी पढ़ना, घंटों-मिनटों-सेकंडों के बीच रूपांतरण और बीता हुआ समय निकालने की समस्याएँ 12 तथा 24 घंटे के प्रारूपों में सिखाई गई हैं।

• 11 मिनट = 60 सेकंड; सेकंड तब काम आते हैं जब छोटे अंतर महत्वपूर्ण हों, जैसे दौड़ में।
• 2200 मीटर पैदल दौड़ में अकीरा, सुनीता और मैरी के समय क्रमशः 1 मिनट 55 सेकंड, 1 मिनट 56 सेकंड और 1 मिनट 57 सेकंड थे।
• 3विद्यार्थी अनुमान लगाते हैं कि पलक झपकना, हाथ धोना और फोन करना सेकंडों में होगा या मिनटों में — फिर जाँचते हैं।
• 412 घंटे का प्रारूप पूर्वाह्न/अपराह्न लेबल से; 24 घंटे का प्रारूप चार अंकों में — जैसे अपराह्न 02:30 = 14:30 बजे।
• 5दोहरी संख्या रेखाओं से गुणन संबंध (×60, ×2 आदि) दिखाकर रूपांतरण का अभ्यास होता है।

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 13, "जानवरों की छलाँग", गुणनखंड, गुणज, उभयनिष्ठ गुणनखंड और उभयनिष्ठ गुणज की अवधारणाएँ संख्या-रेखा पर जानवरों की छलाँग और व्यूह-रचना के माध्यम से समझाता है।

• 112 के सभी गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं — व्यूह 1×12, 2×6 और 3×4 से प्राप्त
• 2प्रत्येक संख्या सदैव स्वयं की गुणज होती है; 1 और स्वयं संख्या सदैव गुणनखंड होते हैं
• 3खरगोश (4 की छलाँग) और मेंढक (3 की छलाँग) पहली बार 12 पर मिलते हैं — 3 और 4 का पहला उभयनिष्ठ गुणज 12 है
• 4मकड़ी (3) और टिड्डा (6) के उभयनिष्ठ गुणज 6 और 12 हैं; बड़ी संख्या के गुणज सदा उभयनिष्ठ गुणज होते हैं
• 54 के गुणज 4, 8, 12, 16, ... और 6 के गुणज 6, 12, 18, ... में 12 व 24 उभयनिष्ठ गुणज हैं

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 14, "मानचित्र और अवस्थितियाँ", चार मुख्य दिशाओं की पहचान, सड़क और मेट्रो के मानचित्र पढ़ने, तथा ग्रिड निर्देशांकों से वस्तुओं की अवस्थिति ज्ञात करने के कौशल व्यावहारिक गतिविधियों द्वारा सिखाता है।

• 1उगते सूर्य की ओर मुख करने पर पूर्व सामने, उत्तर बाईं ओर, दक्षिण दाईं ओर और पश्चिम पीछे होता है
• 2साइबेरियाई सारस साइबेरिया (रूस) से उड़कर भारत आता है — यह उदाहरण जीवों की दिशा-ज्ञान क्षमता पर जिज्ञासा जगाता है
• 3पक्षी-अवलोकन शिविर की गतिविधि में दिशा-संकेतों (उत्तर/दक्षिण/पूर्व/पश्चिम) को पढ़कर तंबुओं में रंग भरा जाता है
• 4ग्रिड में निर्देशांक लिखने का नियम — पहले पूर्व (क्षैतिज स्तंभ), फिर उत्तर (ऊर्ध्वाधर पंक्ति)
• 5चींटी-गतिविधि में चींटी केवल बिंदुकित रेखाओं पर और तीर-चिह्नित दिशाओं में चल सकती है; लड्डू तक पहुँचने के लिए 2 सेमी पूर्व चलना होता है

कक्षा 5 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित मेला) का अध्याय 15, "चित्रों के माध्यम से आँकड़े", आँकड़े एकत्रित करना, तालिका में व्यवस्थित करना और चित्रालेख तथा दंड आलेख के माध्यम से प्रस्तुत करना सिखाता है।

• 1जोसेफ चाचा की दुकान में 1 प्रतीक = 5 खिलौने / 5 बोर्ड-खेल / 5 खेलकूद की वस्तुएँ
• 2पैमाना कम प्रतीकों से बड़ी संख्याओं को दर्शाने में सहायता करता है; विद्यार्थी अपना पैमाना चुनकर वही आँकड़े पुनः बना सकते हैं
• 3समायरा और कबीर ने 35 मित्रों से टी.वी. देखने के घंटों के आँकड़े एकत्रित किए — 1/2 घंटे से 2 घंटे से अधिक तक की श्रेणियाँ
• 4दोपहिया वाहन चित्रालेख में 1 प्रतीक = 3 दोपहिया वाहन; सोमवार, बुधवार और गुरुवार की तुलना
• 5रमन की दिनचर्या दंड आलेख में 1 प्रतीक = 1 घंटा; विद्यार्थी अपनी 24 घंटे की दिनचर्या का व्यक्तिगत दंड आलेख बनाते हैं