अध्याय 7: समानुपातिक तर्कण-1

कक्षा 8 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित प्रकाश) का अध्याय 7, "समानुपातिक तर्कण-1", यह पहचानना सिखाता है कि कब दो राशियाँ समान गुणक से बदलती हैं, अनुपातों को सरलतम रूप में व्यक्त करना, त्रैराशिक नियम (Trairasika) से अज्ञात मान ज्ञात करना और किसी राशि को दिए गए अनुपात में बाँटना।

• समानुपातिक परिवर्तन की पहचान — डिजिटल चित्रों के आकार बदलने के उदाहरण से विद्यार्थी सीखते हैं कि समानुपातिक परिवर्तन में दोनों राशियाँ एक ही गुणक से बदलती हैं; केवल एक ही मात्रा बदले (घटाव या जोड़) तो चित्र विकृत हो जाता है।
• त्रैराशिक नियम से समाधान — दो अनुपातों की समानुपातिकता — सरलतम रूप में तुलना या गुणनखंड-परीक्षण (ad = bc) से — जाँची जाती है; फिर प्राचीन भारतीय त्रैराशिक नियम (a : b :: c : d ⟹ d = b×c/a) से तीन ज्ञात मानों से चौथा ज्ञात किया जाता है।
• बाँटना और इकाई का ध्यान — तर्कण का विस्तार किसी राशि को दिए गए अनुपात m : n में बाँटने तक होता है; और यह रेखांकित किया जाता है कि समानुपात के दोनों पक्षों की इकाइयाँ मेल खानी चाहिए।

1. 01अनुपात a : b का अर्थ: पहली राशि की प्रत्येक 'a' इकाई के लिए दूसरी राशि की 'b' इकाई होती है; a और b अनुपात के पद हैं
2. 02दो अनुपात समानुपातिक (a : b :: c : d) हैं जब उनके पद एक समान गुणक से बदलें — सरलतम रूप में तुलना या गुणनखंड-परीक्षण (ad = bc) से जाँचें
3. 03अनुपात को सरलतम रूप में लाने के लिए दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) से विभाजित करें
4. 04त्रैराशिक नियम (Trairasika): यदि a : b :: c : d हो तो d = (b × c) / a; उदाहरण — 6 गिलास नींबू पानी में 10 चम्मच चीनी, तो 18 गिलास के लिए d = (10 × 18) / 6 = 30 चम्मच
5. 05किसी राशि x को m : n में बाँटने पर भाग हैं: m × x/(m+n) और n × x/(m+n)
6. 06अनुपात के दोनों पदों में एक ही संख्या जोड़ने या घटाने से अनुपात बदल जाता है; गुणक से गुणा करने पर समानुपातिकता बनी रहती है
7. 07इकाई की एकरूपता अनिवार्य है: समानुपात के दोनों पक्षों में इकाइयाँ मेल खानी चाहिए (जैसे दोनों मिनट में, दोनों ग्राम में)