अध्याय 12: सीमा और अवकलज

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 12, "सीमा और अवकलज", कलन का परिचय देता है और बताता है कि फलन कैसे परिवर्तित होते हैं; अवकलज किसी बिंदु पर तात्कालिक परिवर्तन की दर मापता है, जिसकी गणना औसत परिवर्तन दरों की सीमा के रूप में की जाती है।

• सीमा: कलन का प्रवेश द्वार — अध्याय कलन की नींव सीमा की अवधारणा पर रखता है — वह मान जिसकी ओर कोई फलन एक बिंदु के निकट अग्रसर होता है — यह वह मूलभूत अवधारणा है जिस पर परिवर्तन की प्रत्येक बाद की परिभाषा निर्भर करती है।
• अवकलज: तात्कालिक दर — अध्याय औसत दरों की सीमा के रूप में अवकलज को परिभाषित करता है, जो यह बताता है कि कोई फलन एक क्षण में कितनी तेज़ी से बदल रहा है — यही वेग और त्वरण जैसी भौतिक राशियों के पीछे का उपकरण है।
• अवकलज को व्यावहारिक बनाने वाले नियम — हर बार प्रथम सिद्धांत से अवकलज निकालने के बजाय अध्याय सीमाओं का बीजगणित, गुणनफल और भागफल नियम तथा मानक अवकलज प्रदान करता है ताकि जटिल फलनों को क्रमबद्ध रूप से अवकलित किया जा सके।

1. 01f(x) की सीमा जब x→a हो तो l होती है, जब बायाँ और दायाँ दोनों हस्त सीमाएँ l के बराबर हों (निरूपण lim f(x) = l)
2. 02अवकलज f'(a) = lim[f(a+h)−f(a)]/h बिंदु a पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल मापता है
3. 03सीमाओं का बीजगणित: सीमाओं के योग, अंतर, गुणनफल और भागफल उन्हीं संक्रियाओं की सीमाओं के बराबर होते हैं (जब हर ≠ 0 हो)
4. 04मुख्य त्रिकोणमितीय सीमाएँ: x→0 पर lim(sin x/x) = 1 और lim(1−cos x)/x = 0; सैंडविच प्रमेय (निपीडन प्रमेय) से सिद्ध
5. 05अवकलज नियम: (u+v)' = u'+v', (uv)' = u'v+uv' (गुणनफल नियम), (u/v)' = (u'v−uv')/v² (भागफल नियम)
6. 06मानक अवकलज: (x^n)' = nx^(n−1), (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (tan x)' = sec² x