अध्याय 10: शंकु परिच्छेद

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 10, "शंकु परिच्छेद", एक लम्ब वृत्तीय शंकु को एक तल से काटने पर बनने वाले वक्रों — वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय — को उनके विशिष्ट ज्यामितीय गुणों और समीकरणों सहित समझाता है, जिनके उपयोग ग्रहीय गति और परावर्तक-अभिकल्प में होते हैं।

• एक शंकु, चार वक्र — अध्याय का एकीकरण विचार यह है कि वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय सभी एक द्विशंकु को विभिन्न कोणों पर काटने से उत्पन्न होते हैं — इस प्रकार प्रतीत: असंबंधित वक्रों का एक साझा ज्यामितीय उद्गम होता है।
• प्रत्येक शंकु परिच्छेद को दूरी से परिभाषित करना — प्रत्येक वक्र एक दूरी-शर्त से लक्षणित होता है — केंद्र से समदूरस्थ, नाभि और नियता से समदूरस्थ, या दो नाभियों से दूरियों का नियत योग या अंतर — जो प्रत्येक मानक समीकरण के पीछे एक स्पष्ट ज्यामितीय परिभाषा देता है।
• आकृति-विवरक और अपभ्रष्ट स्थितियाँ — उत्केंद्रता और नाभिलम्ब जैसी अवधारणाएँ शंकु परिच्छेद की आकृति को मापती हैं, जबकि अपभ्रष्ट स्थितियाँ (बिंदु, रेखा या क्रॉस करती रेखाएँ) तब आती हैं जब तल शंकु के शीर्ष से गुजरता है।

1. 01वृत्त: (x – h)² + (y – k)² = r², जहाँ (h, k) केंद्र और r त्रिज्या है
2. 02परवलय: y² = 4ax (दाईं ओर खुला), जहाँ नाभि (a, 0) पर और नियता x = –a है; नाभिलम्ब की लंबाई = 4a
3. 03दीर्घवृत्त: x²/a² + y²/b² = 1 (नाभियाँ x-अक्ष पर), जहाँ c² = a² – b² और उत्केंद्रता e = c/a; नाभिलम्ब की लंबाई = 2b²/a
4. 04अतिपरवलय: x²/a² – y²/b² = 1 (अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष पर), जहाँ c² = a² + b² और उत्केंद्रता e = c/a (सदैव > 1); नाभिलम्ब की लंबाई = 2b²/a
5. 05अपभ्रष्ट स्थितियाँ तब होती हैं जब तल शंकु के शीर्ष से होकर काटता है: बिंदु (α < β ≤ 90°), सरल रेखा (β = α), या प्रतिच्छेदी रेखाओं का युग्म (0 ≤ β < α)
6. 06वास्तविक जीवन में उपयोग: टार्च और ऑटोमोबाइल हेडलाइट में परवलयिक दर्पण, निलंबन पुल के तार, पुलों में मेहराब और ग्रहीय कक्षाएँ