अध्याय 8: भिन्नों के साथ कार्य करना

यह अध्याय भिन्नों के गुणन (भिन्न × पूर्ण संख्या, पूर्ण संख्या × भिन्न, और भिन्न × भिन्न) और व्युत्क्रम द्वारा विभाजन को समेटता है, साथ ही गुणनफल और भागफल का मूल संख्याओं से आकार-तुलना और इन नियमों का भारतीय गणित में ऐतिहासिक आधार प्रस्तुत करता है।

पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश से गुणा करें, हर अपरिवर्तित रखें। जैसे 3 × (1/4) = 3/4। वैकल्पिक रूप से: पूर्ण संख्या को पहले हर से विभाजित करें, फिर परिणाम को अंश से गुणा करें।

ब्रह्मगुप्त ने 628 ईसवी में अपने ब्राह्मस्फुटसिद्धांत में यह सूत्र दिया: (a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)। अर्थात् अंशों को परस्पर और हरों को परस्पर गुणा करें।

यदि किसी आयत की भुजाएँ भिन्न हों तो उसका क्षेत्रफल उन भिन्नात्मक भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है। एकांक वर्ग को पंक्तियों और स्तंभों में बाँटकर इसे दृश्य रूप में समझाया गया है।

गुणा करने से पहले किसी भी अंश और किसी भी हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित किया जा सकता है। जैसे (12/7) × (5/24): 12 और 24 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 12 है, इसलिए (1/7) × (5/2) = 5/14। इसे अपवर्तन कहते हैं — उमास्वाति ने 150 ईसा पूर्व इसका उल्लेख किया था।

भिन्न a/b का व्युत्क्रम b/a है। भिन्न को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर 1 मिलता है। भिन्नों का विभाजन: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)। यह नियम ब्रह्मगुप्त (628 ईसवी) ने दिया और भास्कर द्वितीय ने लीलावती (1150 ईसवी) में स्पष्ट किया।

नहीं, सदैव नहीं। जब दोनों संख्याएँ 0 और 1 के बीच हों तो गुणनफल दोनों से छोटा होता है। जब एक 0–1 के बीच और दूसरी 1 से बड़ी हो तो गुणनफल बड़ी संख्या से छोटा किंतु छोटी संख्या से बड़ा होता है। जब दोनों 1 से बड़ी हों तो गुणनफल दोनों से बड़ा होता है।

जब भाजक 0 और 1 के बीच हो तो भागफल भाज्य से बड़ा होता है। जैसे 6 ÷ (1/4) = 24, जो 6 से बड़ा है। जब भाजक 1 से बड़ा हो तो भागफल भाज्य से छोटा होता है।

नहीं। भिन्नों के गुणन में क्रम महत्त्वहीन है: (a/b) × (c/d) = (c/d) × (a/b)। यह ब्रह्मगुप्त के सूत्र से भी सुसंगत है क्योंकि a×c = c×a और b×d = d×b।

अध्याय भिन्न-गणित को प्राचीन भारत से जोड़ता है: शुल्बसूत्र (लगभग 800 ईसा पूर्व) में ज्यामितीय निर्माणों के लिए भिन्नों का प्रयोग; उमास्वाति ने 150 ईसा पूर्व अपवर्तन का उल्लेख किया; ब्रह्मगुप्त ने 628 ईसवी में चारों संक्रियाओं के सामान्य नियम दिए; भास्कर द्वितीय ने 1150 ईसवी में विभाजन को और स्पष्ट किया। यह ज्ञान बाद में अरब, अफ्रीकी और यूरोपीय गणितज्ञों तक पहुँचा।

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