अध्याय 6: त्रिभुज

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 6, "त्रिभुज", त्रिभुजों की समरूपता को समझाता है, जिसमें आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) तथा समरूपता के AAA, SSS और SAS कसौटियाँ शामिल हैं, और इन अवधारणाओं का उपयोग पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने में किया जाता है।

• समरूपता का अर्थ — समरूप आकृतियों का आकार समान होता है किंतु आकार आवश्यक नहीं — उनके कोण बराबर होते हैं और उनकी भुजाएँ एक निश्चित अनुपात (स्केल गुणांक) में होती हैं। प्रत्येक सर्वांगसम युग्म समरूप होता है, किंतु इसका विपरीत सत्य नहीं है।
• आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय — त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। यह थेल्स प्रमेय, अपने विलोम के साथ, समरूप त्रिभुजों के संबंध में अधिकांश तर्कों का आधार है।
• समरूप त्रिभुजों के लिए कसौटियाँ — तीन परीक्षण सब-कुछ जाँचे बिना समरूपता स्थापित करते हैं: AAA में संगत कोण बराबर होने चाहिए, SSS में भुजाएँ समानुपाती होनी चाहिए, और SAS में समानुपाती भुजाओं के बीच एक कोण बराबर होना चाहिए। कोई भी एक कसौटी समरूपता निष्कर्ष के लिए पर्याप्त है।

1. 01दो आकृतियाँ समरूप होती हैं यदि उनका आकार समान हो किंतु माप आवश्यक नहीं; सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं किंतु इसका विपरीत नहीं।
2. 02दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (स्केल गुणांक) में हों।
3. 03आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय): त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है; इसका विलोम भी सत्य है।
4. 04AAA समरूपता कसौटी: यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं और त्रिभुज समरूप होते हैं।
5. 05SSS समरूपता कसौटी: यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और त्रिभुज समरूप होते हैं।
6. 06SAS समरूपता कसौटी: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और उन कोणों को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।