अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 1, "वास्तविक संख्याएँ", अंकगणित की आधारभूत प्रमेय को समझाता है — जिसके अनुसार प्रत्येक भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है — और इसका उपयोग करके यह सिद्ध करता है कि √2 और √3 जैसी संख्याएँ अपरिमेय हैं।

• अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन — अंकगणित की आधारभूत प्रमेय गारंटी देती है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरीके से व्यक्त किया जा सकता है (क्रम को छोड़कर)। यही अद्वितीयता अभाज्य गुणनखंडन को म.स. और ल.स. ज्ञात करने का एक विश्वसनीय साधन बनाती है।
• अभाज्य गुणनखंडन द्वारा म.स. और ल.स. — एक बार जब संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिख दिया जाता है, तो म.स. उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है और ल.स. सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात का गुणनफल। दो संख्याओं के लिए यह संबंध सुव्यवस्थित रूप से इस प्रकार जुड़ता है: म.स. × ल.स. = दोनों संख्याओं का गुणनफल।
• अपरिमेयता की उपपत्ति — यह मानकर कि √2 जैसी संख्या परिमेय है और अद्वितीय गुणनखंडन से विरोधाभास उत्पन्न करके, अध्याय यह दर्शाता है कि ऐसे वर्गमूलों को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। यही तर्क 5 − √3 जैसे व्यंजकों पर भी लागू होता है।

1. 01अंकगणित की आधारभूत प्रमेय: प्रत्येक भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है (गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर)।
2. 02दो संख्याओं का म.स. उनके सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों के गुणनफल के बराबर होता है; ल.स. सभी संबंधित अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों के गुणनफल के बराबर होता है।
3. 03किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, म.स.(a, b) × ल.स.(a, b) = a × b (यह संबंध तीन संख्याओं पर लागू नहीं होता)।
4. 04यदि कोई अभाज्य p, a² को विभाजित करता है, तो p, a को भी विभाजित करता है (प्रमेय 1.2) — यही अपरिमेयता सिद्ध करने में प्रयुक्त मुख्य प्रमेयिका है।
5. 05√2 और √3 को अभाज्य गुणनखंडन की आधारभूत प्रमेय के साथ विरोधाभास द्वारा उपपत्ति का उपयोग करके अपरिमेय सिद्ध किया गया है।
6. 065 − √3 और 3√2 जैसे व्यंजक अपरिमेय हैं क्योंकि इन्हें परिमेय मानने पर √3 अथवा √2 की अपरिमेयता से विरोधाभास उत्पन्न होता है।