गणित

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 1, "वास्तविक संख्याएँ", अंकगणित की आधारभूत प्रमेय को समझाता है — जिसके अनुसार प्रत्येक भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है — और इसका उपयोग करके यह सिद्ध करता है कि √2 और √3 जैसी संख्याएँ अपरिमेय हैं।

• 1अंकगणित की आधारभूत प्रमेय: प्रत्येक भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है (गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर)।
• 2दो संख्याओं का म.स. उनके सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों के गुणनफल के बराबर होता है; ल.स. सभी संबंधित अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों के गुणनफल के बराबर होता है।
• 3किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, म.स.(a, b) × ल.स.(a, b) = a × b (यह संबंध तीन संख्याओं पर लागू नहीं होता)।
• 4यदि कोई अभाज्य p, a² को विभाजित करता है, तो p, a को भी विभाजित करता है (प्रमेय 1.2) — यही अपरिमेयता सिद्ध करने में प्रयुक्त मुख्य प्रमेयिका है।
• 5√2 और √3 को अभाज्य गुणनखंडन की आधारभूत प्रमेय के साथ विरोधाभास द्वारा उपपत्ति का उपयोग करके अपरिमेय सिद्ध किया गया है।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 2, "बहुपद", घात के आधार पर बहुपदों का वर्गीकरण, आलेख पर उनके शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ, तथा द्विघात और त्रिघात बहुपदों के शून्यकों एवं गुणांकों के बीच संबंध को समझाता है।

• 1घात 1, 2 और 3 के बहुपदों को क्रमशः रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद कहते हैं
• 2एक वास्तविक संख्या k, बहुपद p(x) का शून्यक है यदि p(k) = 0 हो; ज्यामितीय दृष्टि से शून्यक वे x-निर्देशांक हैं जहाँ आलेख y = p(x), x-अक्ष को काटता है
• 3एक द्विघात बहुपद के अधिकतम 2 शून्यक और एक त्रिघात बहुपद के अधिकतम 3 शून्यक हो सकते हैं
• 4द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों α और β के लिए: शून्यकों का योग = −b/a और शून्यकों का गुणनफल = c/a
• 5त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यकों α, β, γ के लिए: α+β+γ = −b/a, αβ+βγ+γα = c/a, और αβγ = −d/a

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 3, "दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म", छात्रों को ऐसे युग्मों को आलेखीय विधि, प्रतिस्थापन विधि और विलोपन विधि से हल करना सिखाता है, तथा गुणांकों के अनुपातों की तुलना से युग्म को संगत, असंगत या आश्रित के रूप में वर्गीकृत करना बताता है।

• 1रैखिक समीकरण युग्म संगत (कम से कम एक हल) या असंगत (कोई हल नहीं) हो सकता है; आश्रित युग्म सदा संगत होता है और उसके अनंत हल होते हैं।
• 2आलेखीय दृष्टि से, दो रेखाएँ या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (अद्वितीय हल), संपाती होती हैं (अनंत हल), या समांतर होती हैं (कोई हल नहीं)।
• 3प्रतिस्थापन विधि में एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करके दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है।
• 4विलोपन विधि में समीकरणों को उचित अचरों से गुणा किया जाता है ताकि एक चर के गुणांक बराबर हो जाएँ, फिर जोड़ने या घटाने से वह चर समाप्त हो जाता है।
• 5यदि a1/a2 ≠ b1/b2 है, तो युग्म अद्वितीय हल वाला संगत है; यदि a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 है, तो आश्रित (अनंत हल) है; यदि a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 है, तो असंगत (कोई हल नहीं) है।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 4, "द्विघात समीकरण", ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के रूप के समीकरणों को समझाता है और उनके मूल ज्ञात करने की तीन विधियाँ — गुणनखंडन, पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात सूत्र तक पहुँचना, और मूलों की प्रकृति जाँचने के लिए विविक्तकर — सिखाता है।

• 1मानक रूप में द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है।
• 2द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं; इसके मूल द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों के समान होते हैं।
• 3गुणनखंडन विधि में मध्य पद को विभाजित कर, दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करके प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखा जाता है।
• 4द्विघात सूत्र से मूल x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a प्राप्त होते हैं, जो b²−4ac ≥ 0 होने पर मान्य है।
• 5विविक्तकर (b²−4ac) मूलों की प्रकृति बताता है: >0 होने पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल, =0 होने पर दो बराबर वास्तविक मूल, <0 होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 5, "समांतर श्रेढ़ियाँ", संख्याओं की उन सूचियों को समझाता है जिनमें प्रत्येक पद पिछले पद में एक निश्चित सार्व अंतर (d) जोड़ने से प्राप्त होता है; n वाँ पद an = a + (n − 1)d और n पदों का योग Sn = n/2 [2a + (n − 1)d] से दिया जाता है।

• 1समांतर श्रेढ़ी (A.P.) संख्याओं की वह सूची है जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद में निश्चित सार्व अंतर d जोड़ने से प्राप्त होता है; d धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
• 2A.P. का सामान्य रूप a, a+d, a+2d, a+3d, … है, जहाँ a प्रथम पद और d सार्व अंतर है।
• 3A.P. का n वाँ पद (व्यापक पद) an = a + (n−1)d से दिया जाता है; परिमित A.P. के अंतिम पद को कभी-कभी l से दर्शाया जाता है।
• 4पहले n पदों का योग Sn = n/2 [2a + (n−1)d] है, या समतुल्य रूप से जब अंतिम पद l ज्ञात हो तो Sn = n/2 (a + l) है।
• 5कोई सूची A.P. है यदि और केवल यदि प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान हो, अर्थात सभी k के लिए ak+1 − ak अचर हो।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 6, "त्रिभुज", त्रिभुजों की समरूपता को समझाता है, जिसमें आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) तथा समरूपता के AAA, SSS और SAS कसौटियाँ शामिल हैं, और इन अवधारणाओं का उपयोग पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने में किया जाता है।

• 1दो आकृतियाँ समरूप होती हैं यदि उनका आकार समान हो किंतु माप आवश्यक नहीं; सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं किंतु इसका विपरीत नहीं।
• 2दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (स्केल गुणांक) में हों।
• 3आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय): त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है; इसका विलोम भी सत्य है।
• 4AAA समरूपता कसौटी: यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं और त्रिभुज समरूप होते हैं।
• 5SSS समरूपता कसौटी: यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और त्रिभुज समरूप होते हैं।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 7, "निर्देशांक ज्यामिति", छात्रों को दूरी सूत्र की सहायता से दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना तथा विभाजन सूत्र की सहायता से किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना सिखाता है।

• 1दूरी सूत्र: P(x₁,y₁) और Q(x₂,y₂) के बीच की दूरी √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²] होती है, जो पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न है।
• 2बिंदु P(x,y) की मूल बिंदु O(0,0) से दूरी √(x²+y²) होती है।
• 3विभाजन सूत्र: रेखाखंड AB — जहाँ A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) हैं — को आंतरिक रूप से m₁:m₂ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ((m₁x₂+m₂x₁)/(m₁+m₂), (m₁y₂+m₂y₁)/(m₁+m₂)) होते हैं।
• 4मध्य-बिंदु सूत्र (1:1 अनुपात में विभाजन सूत्र का विशेष रूप): AB का मध्य-बिंदु ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) होता है।
• 5तीन बिंदु संरेखी होते हैं यदि दो निकटवर्ती बिंदु-युग्मों के बीच की दूरियों का योग बाहरी बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर हो।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 8, "त्रिकोणमिति का परिचय", समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन करता है। इसमें छह त्रिकोणमितीय अनुपात — sin, cos, tan, cosec, sec और cot — को परिभाषित किया गया है तथा sin²A + cos²A = 1 जैसी प्रमुख सर्वसमिकाएँ स्थापित की गई हैं।

• 1त्रिकोणमिति त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के संबंधों का अध्ययन करती है; यह शब्द ग्रीक 'tri' (तीन), 'gon' (भुजाएँ) और 'metron' (माप) से बना है।
• 2समकोण त्रिभुज में न्यून कोण A के लिए छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिभाषित होते हैं: sin A = लंब/कर्ण, cos A = आधार/कर्ण, tan A = लंब/आधार; तथा cosec, sec और cot उनके क्रमशः व्युत्क्रम हैं।
• 3त्रिकोणमितीय अनुपात केवल कोण पर निर्भर करते हैं, समकोण त्रिभुज के आकार पर नहीं, क्योंकि समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
• 4मानक कोणों के मान: sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1; cos का मान 0° से 90° तक बढ़ने पर 1 से 0 तक घटता है।
• 5तीन पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ सभी वैध न्यून कोणों के लिए सत्य हैं: sin²A + cos²A = 1, sec²A = 1 + tan²A, और cosec²A = 1 + cot²A।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 9, "त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग", छात्रों को त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके मीनारों, भवनों और अन्य वस्तुओं की ऊँचाई तथा उनके बीच की दूरियाँ ज्ञात करना सिखाता है, जिसमें उन्नयन कोण और अवनमन कोण का प्रयोग किया जाता है।

• 1दृष्टि रेखा वह रेखा है जो प्रेक्षक की आँख से देखी जा रही वस्तु तक खींची जाती है।
• 2उन्नयन कोण तब बनता है जब दृष्टि रेखा क्षैतिज स्तर से ऊपर हो (प्रेक्षक ऊपर देख रहा हो)।
• 3अवनमन कोण तब बनता है जब दृष्टि रेखा क्षैतिज स्तर से नीचे हो (प्रेक्षक नीचे देख रहा हो)।
• 4समकोण त्रिभुजों में अज्ञात ऊँचाइयाँ और दूरियाँ परिकलित करने के लिए tan, sin और cot जैसे त्रिकोणमितीय अनुपातों का प्रयोग किया जाता है।
• 515 m दूर स्थित किसी मीनार का उन्नयन कोण 60° हो, तो उसकी ऊँचाई 15√3 m होगी, जो tan 60° = √3 का उपयोग करके प्राप्त होती है।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 10, "वृत्त", वृत्त की स्पर्श रेखाओं पर केंद्रित है — यह सिद्ध करता है कि किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है, तथा किसी बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।

• 1वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ठीक एक बिंदु पर काटती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहते हैं; छेदक दो बिंदुओं पर काटती है।
• 2प्रमेय 10.1: वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है (OP ⊥ XY)।
• 3प्रमेय 10.2: किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं (PQ = PR)।
• 4वृत्त के भीतर स्थित बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती; वृत्त पर स्थित बिंदु से ठीक एक; तथा बाहरी बिंदु से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
• 5वृत्त का केंद्र, बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच बने कोण के कोण-अर्द्धक पर स्थित होता है।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 11, "वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल", विद्यार्थियों को त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई (θ/360) × πr² सूत्र से, तथा वृत्तखंड का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर, ज्ञात करना सिखाता है।

• 1त्रिज्यखंड वह क्षेत्र है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है; वृत्तखंड एक जीवा और उसके चाप के बीच का क्षेत्र है — दोनों के लघु और दीर्घ रूप होते हैं।
• 2त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ (डिग्री में) वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²।
• 3त्रिज्या r और कोण θ वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr।
• 4वृत्तखंड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल (जो दोनों त्रिज्याओं और जीवा से बनता है)।
• 5दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² − लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल; दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = πr² − लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 12, "पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन", घनाभ, शंकु, बेलन, गोला और अर्धगोला जैसी मूल आकृतियों को मिलाकर बने ठोसों से संबंधित है और विद्यार्थियों को दृश्यमान भागों से संयुक्त पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा घटक ठोसों का योग करके संयुक्त आयतन ज्ञात करना सिखाता है।

• 1संयुक्त ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्रत्येक घटक ठोस के केवल उजागर (दृश्यमान) भागों के वक्र पृष्ठ क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
• 2संयुक्त ठोस का आयतन सदैव उसके अलग-अलग घटक ठोसों के आयतनों का सीधा योग होता है।
• 3सामान्य संयुक्त आकृतियों में शामिल हैं: बेलन के साथ दो अर्धगोले (तेल-टैंकर, कैप्सूल), अर्धगोले के ऊपर शंकु (खिलौने, लट्टू), अर्धगोले के ऊपर घनाभ (सजावटी ब्लॉक), तथा आधे बेलन के ऊपर घनाभ (औद्योगिक शेड)।
• 4लट्टू (अर्धगोले के ऊपर शंकु, कुल ऊँचाई 5 cm, व्यास 3.5 cm) के लिए रंगे जाने वाला पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग 39.6 cm² है।
• 5एक सजावटी घन-और-अर्धगोला ब्लॉक (घन का किनारा 5 cm, अर्धगोले का व्यास 4.2 cm) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 163.86 cm² है।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 13, "सांख्यिकी", माध्य, माध्यक और बहुलक के अध्ययन को अवर्गीकृत से वर्गीकृत आँकड़ों तक विस्तारित करता है, तथा संचयी बारंबारता बंटन और उनके आरेख — जिन्हें तोरण (ogive) कहते हैं — का परिचय कराता है।

• 1तीन विधियाँ — प्रत्यक्ष विधि, कल्पित माध्य विधि और पग-विचलन विधि — वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाती हैं और सदैव एक ही परिणाम देती हैं।
• 2वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक सूत्र से निकाला जाता है: बहुलक = l + [(f1 − f0) / (2f1 − f0 − f2)] × h, जहाँ बहुलक वर्ग की बारंबारता सर्वाधिक होती है।
• 3वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक सूत्र: माध्यक = l + [(n/2 − cf) / f] × h, संचयी बारंबारता तालिका से माध्यक वर्ग पहचानने के बाद ज्ञात किया जाता है।
• 4संचयी बारंबारता बंटन 'से कम' प्रकार (ऊपरी वर्ग-सीमाओं का उपयोग करके) या 'से अधिक' प्रकार (निचली वर्ग-सीमाओं का उपयोग करके) का हो सकता है।
• 5केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों मापों के बीच अनुभवजन्य संबंध: 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 14, "प्रायिकता", सैद्धांतिक (शास्त्रीय) प्रायिकता का परिचय कराता है, जो किसी घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल समसंभाव्य परिणामों की संख्या से भाग देकर परिभाषित की जाती है, और प्रत्येक प्रायिकता 0 और 1 के बीच (दोनों सम्मिलित) होती है।

• 1सैद्धांतिक प्रायिकता P(E) = (E के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (सभी संभावित परिणामों की संख्या), समसंभाव्य परिणामों की मान्यता पर।
• 2किसी भी घटना E की प्रायिकता 0 ≤ P(E) ≤ 1 को संतुष्ट करती है; असंभव घटना की प्रायिकता 0 और निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
• 3पूरक घटनाओं E और not-E के लिए: P(E) + P(not E) = 1, अतः P(not E) = 1 – P(E)।
• 4किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग सदैव 1 होता है।
• 5एक मानक ताश की गड्डी में 13-13 पत्तों के 4 वर्गों में 52 पत्ते होते हैं; इक्का (ace) निकलने की प्रायिकता 4/52 = 1/13 है।