अध्याय 11: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 11, "वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल", विद्यार्थियों को त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई (θ/360) × πr² सूत्र से, तथा वृत्तखंड का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर, ज्ञात करना सिखाता है।

• त्रिज्यखंड और वृत्तखंड — त्रिज्यखंड वह पाई-टुकड़े जैसा क्षेत्र होता है जो दो त्रिज्याओं और उनके चाप के बीच घिरा होता है, जबकि वृत्तखंड एक जीवा और उसके चाप के बीच का क्षेत्र होता है। दोनों का एक छोटा (लघु) और एक बड़ा (दीर्घ) रूप होता है।
• सूत्रों के पीछे एकात्मक विधि — चूँकि पूरे 360° वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है, इसलिए θ कोण वाला त्रिज्यखंड उसका θ/360 भाग लेता है। यही अनुपात चाप की लंबाई भी देता है, अतः त्रिज्यखंड के सभी सूत्र इसी एक विचार से निकलते हैं।
• वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करना — वृत्तखंड का क्षेत्रफल वह भाग होता है जो त्रिज्यखंड में से दोनों त्रिज्याओं और जीवा द्वारा बने त्रिभुज को हटाने के बाद शेष रहता है। दीर्घ क्षेत्रफल तब लघु भाग को पूरे वृत्त में से घटाकर ज्ञात किए जाते हैं।

1. 01त्रिज्यखंड वह क्षेत्र है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है; वृत्तखंड एक जीवा और उसके चाप के बीच का क्षेत्र है — दोनों के लघु और दीर्घ रूप होते हैं।
2. 02त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ (डिग्री में) वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²।
3. 03त्रिज्या r और कोण θ वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr।
4. 04वृत्तखंड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल (जो दोनों त्रिज्याओं और जीवा से बनता है)।
5. 05दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² − लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल; दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = πr² − लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल।
6. 06एकात्मक विधि ही त्रिज्यखंड और चाप-लंबाई के सभी सूत्रों का आधार है: पूरे वृत्त (360°) का क्षेत्रफल πr² है, अतः θ° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल θ/360 के अनुपात में होता है।