अध्याय 3: संख्याओं का संसार
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कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 3, "संख्याओं का संसार", यह बताता है कि संख्या प्रणाली कैसे प्राकृत संख्याओं और शून्य से होती हुई पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं, अपरिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं तक विकसित हुई — इसमें ब्रह्मगुप्त के नियम, दशमलव प्रसार और यह प्रमाण शामिल है कि sqrt(2) अपरिमेय है।
- संख्याओं का विकास — संख्याएँ मानवीय आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए विकसित हुईं — एक-एक संगति से गिनती से लेकर शून्य (शून्य) के भारतीय आविष्कार तक, जिसे ब्रह्मगुप्त ने 628 ई. में अंकगणितीय नियमों के रूप में औपचारिक रूप दिया।
- पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ — पूर्णांक, गिनती की संख्याओं को शून्य और ऋणात्मक संख्याओं के साथ विस्तारित करते हैं, जिन्हें लाभ और ऋण के रूप में समझाया गया है। परिमेय संख्याएँ, p/q के रूप में लिखी जाती हैं, संख्या रेखा पर सघन रूप से पैक होती हैं — किन्हीं दो के बीच हमेशा एक परिमेय संख्या होती है।
- अपरिमेय संख्याएँ — कुछ राशियाँ जैसे sqrt(2) और pi को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता। विरोधाभास द्वारा प्रमाण इस अपरिमेयता को स्थापित करता है, जो संख्या रेखा को भिन्नों से आगे विस्तारित करती है।
- दशमलव और वास्तविक संख्याएँ — दशमलव प्रसार परिमेय (सांत या आवर्ती) और अपरिमेय (कभी न दोहराने वाले) संख्याओं को अलग करता है। ये दोनों परिवार मिलकर वास्तविक संख्याओं की एकल प्रणाली बनाते हैं।
मुख्य बिंदु और सूत्र
- 01प्राकृत संख्याएँ एक-एक संगति से गिनती द्वारा उत्पन्न हुईं
- 02ब्रह्मगुप्त ने 628 ई. में शून्य और उसके अंकगणितीय नियमों को औपचारिक रूप दिया
- 03पूर्णांक (Z) में धनात्मक संख्याएँ, शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ (ऋण) शामिल हैं
- 04परिमेय संख्याएँ p/q के रूप में हैं जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q शून्य के बराबर नहीं है
- 05परिमेय संख्याएँ सघन हैं; किन्हीं दो के औसत द्वारा उनके बीच एक परिमेय संख्या मिलती है
- 06विरोधाभास द्वारा प्रमाण दर्शाता है कि sqrt(2) अपरिमेय है; pi भी अपरिमेय है
- 07परिमेय दशमलव सांत या आवर्ती होते हैं; अपरिमेय दशमलव कभी नहीं दोहराते
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
01ब्रह्मगुप्त ने शून्य और ऋणात्मक संख्याओं को कैसे परिभाषित किया?
अपनी रचना ब्रह्मस्फुटसिद्धांत (628 ई.) में ब्रह्मगुप्त ने शून्य को किसी संख्या से उसे घटाने के परिणाम (a - a = 0) के रूप में परिभाषित किया। उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं को 'ऋण' (ऋण) और धनात्मक संख्याओं को 'धन' (धन) के रूप में प्रस्तुत किया, तथा नियम दिए जैसे दो ऋणों का गुणनफल धन होता है।
02कक्षा 9 गणित अध्याय 3 में परिमेय संख्या क्या है?
परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य के बराबर नहीं है। परिमेय संख्याओं में प्राकृत संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक शामिल हैं।
03अध्याय में sqrt(2) को अपरिमेय कैसे सिद्ध किया गया है?
इसमें विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग किया गया है, जो सर्वप्रथम हिप्पासस (लगभग 400 ई.पू.) ने दिया था। यह मानकर कि sqrt(2) = p/q सरलतम रूप में है, यह निष्कर्ष निकलता है कि p और q दोनों सम हैं, जो यह विरोधाभास उत्पन्न करता है कि उनमें कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। अतः sqrt(2) को भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता और यह अपरिमेय है।
04यह कैसे बताएँ कि किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है?
संख्या को न्यूनतम रूप में लिखें और हर के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। दशमलव प्रसार ठीक तब सांत होता है जब हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2, केवल 5, या 2 और 5 दोनों हों, क्योंकि तब हर को 10 की घात बनाया जा सकता है।
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